Question

某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时） 的关系为f（x）=|-a|+2a+，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，]．
（1）令t=，x∈[0，24]，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；
（2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
（3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数M（a）是否超标？

Answer

（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]，利用单调性的定义可以证明；
（2）先确定t的取值范围是[0，]，再进行分类讨论，从而可得M（a）的解析式；
（3）利用分段函数，可得当时不超标，从而可得结论．
【解析】
（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]．
证明：任取0≤x1＜x2≤1，t（x1）-t（x2）=，
∵0≤x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，∴＜0，∴t（x1）-t（x2）＜0．
所以函数t（x）在[0，1]上为增函数．（同理可证在区间[1，24]单调递减）
（2）由函数的单调性知tmax（x）=t（1）=1，tmin（x）=t（0）=0，
∴t==，∴t的取值范围是[0，]．
当a∈[0，]时，由于f（x）=|-a|+2a+，则可记g（t）=|t-a|+2a+
则g（t）=
∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，]上单调递增，
且g（0）=3a+．g（）=a+
∴g（0）-g（）=2（a-）．
故M（a）=．
（3）当时，，∴，不满足题意；
当时，，∴a≤，∴时，满足题意
故当时不超标，当时超标．