Question

大学生自主创业已成为当代潮流．长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年    后一次还清贷款，已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要    交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全    部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．
（1）设夏某第n个月月底余a_n元，第n+l个月月底余a_n+1元，写出a₁的值并建立a_n+1与a_n的递推关系；
（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．
（参考数据：1.12¹¹≈3.48，1.12¹²≈3.90，0.12¹¹≈7.43×10^-11，0.12¹²≈8.92×10^-12）

Answer

（1）根据夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，可求a1的值并建立an+1与an的递推关系；
（2）构造{an-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列，即可求得结论．
【解析】
（1）由题意a1=20000（1+15%）-20000×15%×20%-1500=20900（元）…（2分）
an+1=an（1+15%）-an×15%×20%-1500=1.12an-1500（n∈N+，1≤n≤11）…（6分）
（2）令an+1+λ=1.12（an+λ），则an+1=1.12an+0.12λ，
∵an+1=1.12an-1500，∴对比得λ=-12500…（8分）
∴an+1-12500=1.12（an-12500），
∴{an-12500}是以20900为首项，1.12为公比的等比数列
∴an-12500=（20900-12500）×1.12n-1，即an=8400×1.12n-1+12500
∴a12=8400×1.1211+12500≈41732（元）       …（11分）
又年底偿还银行本利总计20000（1+6%）=21200（元）…（12分）
故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元）  …（13分）