Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中点，
（ⅰ） 求证：BF∥平面ACP；
（ⅱ） 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．

Answer

（Ⅰ）（ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OP．利用OP为三角形BDF中位线，可得BF∥OP，利用线面平行的判定，可得BF∥平面ACP；
（ⅱ）利用平面ABEF⊥平面ABCD，可得⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，求得，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）设P点坐标为（0，2-2t，t），求得平面APF的法向量为，平面APC的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（Ⅰ）（ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．
因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF∥OP，
因为BF⊄平面ACP，OP⊂平面ACP，所以BF∥平面ACP．   …（4分）
（ⅱ）因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．
所以B（1，0，0），，，C（1，2，0）．
所以，，
所以，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．                          …（9分）

（Ⅱ）【解析】
因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为（0，2-2t，t），在平面APC中，，，
所以平面APC的法向量为，
所以，
解得，或t=2（舍）．
此时．                             …（14分）