Question

设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对∀x₁，x₂∈R⁺，都有x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]；
（Ⅲ）若，证明：（i，n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，化简函数f（x）的表达式，通过函数的导数确定函数的单调性，然后求出最小值；
（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的最小值，然后证明：对∀x1，x2∈R+，都有x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]；
（Ⅲ）法一：直接利用数学归纳法的证明步骤，证明：（i，n∈N*）．
方法二：直接利用，通过基本不等式与放缩法证明即可．
【解析】
（Ⅰ）a=1时，f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x），（0＜x＜1），
则．
令f'（x）=0，得．
当时，f'（x）＜0，f（x）在是减函数，
当时，f'（x）＞0，f（x）在是增函数，
所以 f（x）在时取得最小值，即．  …（4分）
（Ⅱ）因为 f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），
所以 ．
所以当时，函数f（x）有最小值．∀x1，x2∈R+，不妨设x1+x2=a，则=（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]．                   …（8分）
（Ⅲ）（证法一）数学归纳法
ⅰ）当n=1时，由（Ⅱ）知命题成立．
ⅱ）假设当n=k（ k∈N*）时命题成立，
即若，则．
当n=k+1时，x1，x2，…，，满足 ．
设，
由（Ⅱ）得
=
=．
由假设可得 F（x）≥-ln2k-ln2=-ln2k+1，命题成立．
所以当 n=k+1时命题成立．
由ⅰ），ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，
所以 若，则 （i，n∈N*）．            …（13分）
（证法二）若，
那么由（Ⅱ）可得===-ln2n．
…（13分）
（若用其他方法解题，请酌情给分）