Question

如图所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥C D′；
（2）求二面角D′-BC-E的正切值．

Answer

（1）欲证BE⊥CD′，先证BE⊥面D′EC，欲证线面垂直先证线线垂直，根据线面垂直的判定定理可证得；
（2）先以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，设出平面D′BC的法向量，求出两平面的法向量的所成角的余弦值，再求出其正切值．
【解析】
（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC．
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′⊂面D′EC，
∴BE⊥CD′．
（2）如图以EB，EC为x、y轴，过E垂直平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．
则B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，），，
设平面BEC的法向量为，平面D′BC的法向量为，，
取，
∴．
tan＜，＞=，
∴二面角D′-BC-E的正切值为．