Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0为常数）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有…+＜1成立，求p的取值范围．

Answer

（1）利用数列递推式确定首项，再写一式，两式相减，即可得到结论；
（2）利用裂项法可求…+，结合…+＜1成立，即可求p的取值范围，求p的取值范围．
【解析】
（1）当n=1时，2pS1=a12+pa1，∴a1=p，
∵2pSn=an2+pan，∴n≥2时，2pSn-1=an-12+pan-1，
两式相减可得p（an+an-1）=（an-an-1）（an+an-1）
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=p
∴数列{an}是首项和公差都为p的等差数列
∴an=np；
（2）由（1）知，∴=
∴…+=（1-+-+…+）==
∵对任意n∈N*都有…+＜1成立，
∴
∴
∵
∴≥1，即p≥2．