Question

某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
（I）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
（II）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
（III）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer

（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，在第一次更换灯棍工作中不需要更换灯棍即三个灯棍都不需要更换，，用相互独立事件同时发生的概率来求出．
（2）在第二次灯棍更换工作中，对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为（1-0.8）2；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为0.8（1-0.3），由互斥事件的概率得到结果．
（3）共有三盏灯，在更换灯棍时需要更换的ξ的可能取值为0，1，2，3；某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率前面已经做出，根据二项分布公式得到结果，
【解析】
（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
设在第一次更换灯棍工作中不需要更换灯棍的概率为P1，
∴P1=0.83=0.152
（II）在第二次灯棍更换工作中，对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为（1-0.8）2；
在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为0.8（1-0.3），
由互斥事件的概率得到
∴所求概率为P=（1-0.8）2+0.8（1-0.3）=0.6；
（III）ξ的可能取值为0，1，2，3；
某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为p=0.6
∴P（ξ=0）=C3p（1-p）3=C30.43=0.064，
P（ξ=1）=C31p（1-p）2=C310.6×0.42=0.288，
P（ξ=2）=C32p2（1-p）1=C320.62×0.41=0.432，
P（ξ=3）=C33p（1-p）=C330.63×0.4=0.216，
∴ξ的分布列为

此分布为二项分布ξ～N（3，0.6）
∴Eξ=np=3×0.6=1.8．