Question

（1）已知（x+1）⁶（ax-1）²的展开式中含x³的项的系数是20，求a的值．
（2）设（5x-）ⁿ的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，求展开式中二项式系数最大的项．

Answer

（1）利用多项式的乘法法则得到x3系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出a的值．
（2）依题意得，M=4n=（2n）2，N=2n，（2n）2-2n=240，由此求得n=4，要使二项式系数最大，只有r=2，由此可得展开式中二项式系数最大的项．
【解析】
（1）：（x+1）6（ax-1）2的展开式中x3系数是C63+C62×（-1）×a+C61a2=6a2-15a+20，
∵x3系数为20，∴6a2-15a+20=20，∴a=0，a=．
（2）依题意得，M=4n=（2n）2，N=2n，于是有（2n）2-2n=240，（2n+15）（2n-16）=0，2n=16=24，解得n=4．
要使二项式系数最大，只有r=2，故展开式中二项式系数最大的项为 T3= （5x）2•=150x3．