Question

已知函数：f（x）=（a∈R且x≠a）．
（1）证明：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
（3）若a＞，函数g（x）=x²+|（x-a） f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer

（1）由于f（x）=-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，与x取值无关得证；
（2）由定义域为[a+12，a+1]，得，再由f（x）=-1即可求解．
（3）根据题意，可得g（x）=x2+|x+1-a|，（x≠a），进而分①x≥a-1且x≠a与②x≤a-1两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出每种情况下f（x）的最小值，综合可得答案．
（1）证明：∵f（x）==-1，
∴f（2a-x）=-1=--1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=+（-）-2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）证明：∵f（x）的定义域为，
∴-1-a≤-x≤-a-，-1≤a-x≤-，-2≤≤-1，
又f（x）=-1，
∴-3≤-1≤-2，即f（x）的值域为[-3，-2]．
（3）【解析】
函数g（x）=x2+|x+1-a|，（x≠a），
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x2+x+1-a=（x+）2+-a，
当a＞时，a-1＞-，函数在[a-1，+∞）上单调递增，
g（x）min=g（a-1）=（a-1）2，
②当x≤a-1时，g（x）=x2-x-1+a=（x-）2+a-，
如果a-1＞即a＞时，g（x）min=g（）=a-，
如果a-1≤即a≤时，g（x）在（-∞，a-1）上为减函数，g（x）min=g（a-1）=（a-1）2，
当a＞时，（a-1）2-（a-）=（a-）2＞0，
综合可得，当＜a≤时，g（x）的最小值是（a-1）2；
当a＞时，g（x）的最小值是a-．