Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．

（Ⅰ）求证：PO⊥面ABCE；
（Ⅱ）求二面角E-AP-B的余弦值．

Answer

（I）由已知中AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，D到折起到P点位置，且PC=PB，取BC的中点F，连OF，PF，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易得到BC⊥面POF，PO⊥AE，进而根据线面垂直的判定定理得到答案．
（II）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面EAP和平面BAP的法向量，然后利用向量法易求出二面角E-AP-B的余弦值．
【解析】
（I）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE（1分）
取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为
PB=PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF（3分）
从而BC⊥PO（5分），
又BC与PO相交，可得PO⊥面ABCE（6分）
（II）作OG∥BC交AB于G，∴OG⊥OF如图，建立直角坐标系，
A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），
P（0，0，）（7分）
设平面PAB的法向量为，
同理平面PAE的法向量为，（10分）
二面角E-AP-B的余弦值为（12分）