Question

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：．

Answer

（Ⅰ）由条件得，代入计算，可得a2，a3，a4及b2，b3，b4；
（Ⅱ）先猜想{an}，{bn}的通项公式，再用数学归纳法证明；
（Ⅲ）利用放缩法，再利用裂项法求和，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
由条件得
由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
猜测．                           …（5分）
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即 ，
那么当n=k+1时，．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．…（9分）
（Ⅲ）证明：．
n≥2时，由（Ⅰ）知an+bn=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．…（11分）
故==…（14分）