Question

已知椭圆的离心率为且过点（0，1）．
（I）求此椭圆的方程；
（II）已知定点E（-1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（I）由离心率的计算公式和a2=b2+c2及b=1即可得到a2得到椭圆的方程；
（II）把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E点，则，将它们联立消去x1，x2即可得出k的值．
【解析】
（I）根据题意，，解得．
∴椭圆方程为．
（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0，解得k2＞1．（*）
设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，（**）
若以CD为直径的圆过E点，则，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，
而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，代入上式得
，
化为（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0．
把（**）代入上式得
解得，满足k2＞1．
所以存在使得以线段CD为直径的圆过E点．