Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式．请指出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

Answer

（1）利用题设中所给的恒等式进行变换，先得到Sn+1=n+1-5an+1-85，n∈N*．与已知中Sn=n-5an-85，n∈N*．作差整理即可得到证明；
（2）由（1）Sn+1=n+1-5an+1-85，n∈N*．变形可得Sn+1-（n+1）+90=（Sn-n+90），此是一等比数列，求出它的通项则可以得到数列{Sn}的通项公式，对数列的相邻两项作差，研究其单调性即可得出Sn取得最小值时的n是1
【解析】
（1）∵Sn=n-5an-85，n∈N*．
∴Sn+1=n+1-5an+1-85，n∈N*．
两式作差得an+1=1-5an+1+5an，即6（an+1-1）=5（an-1），即（an+1-1）=（an-1），n∈N*．
故{an-1}是等比数列
（2）由（1）Sn+1=n+1-5an+1-85，n∈N*．得Sn+1=n+1-5（Sn+1-Sn）-85，n∈N*．
得6Sn+1=n+5Sn-84，即6[Sn+1-（n+1）]=5（Sn-n）-90，
即Sn+1-（n+1）=（Sn-n）-15
整理得Sn+1-（n+1）+90=（Sn-n+90）
故{Sn-n+90}是一个等比数列，其公比为，由于a1=1-5a1-85，得a1=-14
故{Sn-n+90}的首项为-14-1+90=75
故Sn-n+90=75×，即Sn=n-90+75×，
由于Sn+1-Sn=1-×，令Sn+1-Sn＞0，对n赋值验证知n＞15时成立，即Sn其最小值是S15