Question

已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

Answer

在图形甲中，BC的长度为，设出∠DBC=α，把BD和DC都用r和角α表示，利用三角函数求直角三角形BDC面积的最大值；在图形乙中，设出∠DOE=θ，利用平面几何知识得到角θ的范围，把DE和BE用r和θ表示，写出三角形BED的面积后，利用导数分析单调性，由单调性求最值，最后比较两种情况下面积最大值的大小．
【解析】
如图甲，

设∠DBC=α（），
则，，
所以
=，
当且仅当时取等号，
此时点D到BC的距离为，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，
因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为．   
如图乙，

设∠EOD=θ，则OE=rcosθ，DE=rsinθ，
所以，．
设，则，
当时，f'（θ）≤0，所以时，即点E与点C重合时，△BDE的面积最大值为． 
因为，
所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为．