Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁和F₂，由4个点M（-a，b）、N（a，b）、F₂和F₁组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₁的直线和椭圆交于两点A、B，求△F₂AB面积的最大值．

Answer

【解析】
（1）由题意知b=，=3，即a+c=3①，又a2=3+c2②，联立①②解得a，c，；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky-1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，△F2AB的面积S==|y1-y2|=，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；
【解析】
（1）由题意知b=，=3，所以a+c=3①，
又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，
联立①②解得a=2，c=1，
所以椭圆方程为：；
（2）由（1）知F1（-1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky-1，
由得（3k2+4）y2-6ky-9=0，△＞0成立，
且，，
△F2AB的面积S==|y1-y2|=
==12=，
又k2≥0，所以递增，
所以9+1+6=16，
所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，
所以△F2AB面积的最大值为3．