Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（I）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（II）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）且x₂-x₁＞ln2，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；
（II）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．
【解析】
（I）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，
∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=-，
②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt，
∴f（x）min=；
（II）y=f（x）+g（x）=xlnx-x2+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a
题意即为y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点
∵G′（x）=-+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2-x1的值随着a的增大而增大而当x2-x1=ln2时，由题意，
两式相减可得ln=2（x1-x2）=-2ln2
∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，
此时a=ln2-ln（）-1，
所以，实数a的取值范围为a＞ln2-ln（）-1；