Question

已知实数a＞0且函数f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域为P={y|-3a²≤y≤3a²}．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若至少存在一个实数m，使得f（m）-f（1-m）≤n成立，求实数n的取值范围．

Answer

（1）根据绝对值的性质，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|可得||x-2a|-|x+a||≤3a，进而根据函数的值域为P，求出a值；
（2）由（1）构造函数h（m）=f（m）-f（1-m），并结合绝对值的性质，求出函数的最大值，进而得到实数n的取值范围．
【解析】
（I）∵实数a＞0
∴||x-2a|-|x+a||≤|x-2a+（-x-a）|=|3a|=3a
∴-3a≤|x-2a|-|x+a|≤3a
由函数f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域为P={y|-3a2≤y≤3a2}．
∴3a2=3a
解得a=1
（II）∵f（x）=|x-2|-|x+1|
∴h（m）=f（m）-f（1-m）
=（|m-2|-|m+1|）-（|1-m-2|-|1-m+1|）
=|m-2|-|m+1|-|-m-1|+|-m+2|
=2（|m-2|-|m+1|）=
故h（m）的最小值为-6
若至少存在一个实数m，使得f（m）-f（1-m）≤n成立，
仅须n≥-6