Question

已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=b=，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，
故椭圆方程为．                     …（5分）
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为M（0，1），F（1，0），所以kPQ=1．                     …（7分）
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x2+4mx+2m2-2=0．
由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=-，x1x2=．    …（9分）
由题意应有，所以x1（x2-1）+y2（y1-1）=0，
所以2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0．
整理得2×-（m-1）+m2-m=0．
解得m=-或m=1．                               …（12分）
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
当m=-时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-．…（13分）