Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x-x²）＞0的实数x的取值范围为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，1+）
C．（1-，1）
D．（1-，1+）

Answer

由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（1+x）+f（x-x2）＞0转化成f（1+x）＞f（x2-x），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．
【解析】
∵f'（x）=2+cosx，知f（x）=2x+sinx+c，而f（0）=0，∴c=0．
即f（x）=2x+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f'（x）=2+cosx在x∈（0，2）恒大于0，
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的．
由 f（1+x）+f（x-x2）＞0 可得 f（1+x）＞-f（x-x2），即：f（1+x）＞f（x2-x）．
，解得解得：x∈（1-，1），
故选C．