Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；
（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得
∴f（x）的单调递减区间为
令f′（x）＞0解得
∴f（x）的单调递增区间为；
（Ⅱ）当时，t无解
当，即时，
∴；
当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt
∴；
（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax-1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1
∵x∈（0，+∞）
∴
设，则
令h′（x）=0，得（舍）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2
∴a≥-2
故实数a的取值范围[-2，+∞）