Question

已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），且⊥．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer

（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ-≤2x+≤2kπ+，可得单调递增区间；
（2）结合（1）可得f（）=1+2sin（A+）=3，进而可得A=，由余弦定理可得bc=4，代入面积公式S=，计算可得答案．
【解析】
（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosx-y=0，
即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z
（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+），
故f（）=1+2sin（A+）=3，解得sin（A+）=1
故可得A+=，解得A=，
由余弦定理可得22=b2+c2-2bccosA，
化简可得4=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=16-3bc，
解得bc=4，故△ABC的面积S===