Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，而数列{b_n}的首项为1，b_n+1-b_n-2=0．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由an是Sn与2的等差中项得递推式，在递推式中分别取n=1和n=2即可求得a1和a2的值；
（2）由（1）中的递推式和求得数列{an}是等比数列，由bn+1-bn-2=0推得数列{bn}是等差数列，则数列{an}，{bn}的通项公式可求；
（3）把an和bn代入cn=an•bn后直接利用错位相减法求和．
【解析】
（1）∵an是Sn与2的等差中项，
∴Sn=2an-2，∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2，a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4；
（2）∵Sn=2an-2①，∴Sn-1=2an-1-2（n≥2）②，
①-②得：an=2an-2an-1，即，
∵a1≠0，∴，即数列{an}是等比数列．
∵a1=2，∴．
由已知得bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，
又b1=1，∴bn=b1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（3）由cn=an•bn=（2n-1）2n，
∴③，
∴④，
③-④得：．
即：=
∴．