Question

已知数列{a_n}是公差为正的等差数列，其前n和为S_n，点（n，S_n）在抛物线上；各项都为正数的等比数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=2a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）依题意，Sn=n2+n，利用等差数列的性质可求得{an}的通项公式，由b1b3=，b5=可求得{bn}的通项公式；
（2）cn=2an-bn，利用分组求和的方法即可求得数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵点（n，Sn）在抛物线y=x2+x上，
∴Sn=n2+n，
∴当n=1时，a1=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[（n-1）2+（n-1）]=3n-1；
当n=1时，也适合上式，
∴an=3n-1；
∵{bn}为各项都为正数的等比数列，且b1b3==，b5=b2•q3=，
∴b2=，公比q=，
∴bn=b2•qn-2=×=．
（2）∵cn=2an-bn=2（3n-1）-，
∴其前n项和Tn=c1+c2+…+cn
=[（6×1-2）+（6×2-2）+…+（6n-2）]-[++…+]
=-2n-
=3n2+n-1+．