Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，A₁A=AD=1，E为AD₁与A₁D的交点．
（1）求二面角C-AD₁-D 的平面角正切值．
（2）求D点到平面ACD₁的距离．

Answer

（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面AD1D与AD1C的一个法向量，由两个法向量所成的角的余弦值求二面角的余弦值，从而求出正切值；
（2）在（1）中求出了AD1C的一个法向量，E点是平面AD1C上的一个点，求出向量，则向量在平面AD1C的一个法向量上的投影的绝对值即为点D到平面ACD1的距离．
【解析】
（1）如图，

以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为AB=2，A1A=AD=1，E为AD1与A1D的交点，
所以，A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
E（），D（0，0，0）．
，，．
则平面AD1D的一个法向量为，
设平面AD1C的一个法向量，
由，得，取y=1，则x=z=2，
所以．
再设二面角C-AD1-D 的平面角为θ，
则cosθ=．
所以sinθ=．
则二面角C-AD1-D 的平面角正切值为tanθ=．
（2）D点到平面AD1C的距离为=．
所以D点到平面ACD1的距离为．