Question

如图所示，椭圆C：的离心率，左焦点为F₁（-1，0）右焦点为F₂（1，0），短轴两个端点为A、B，与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k₁，k₂，且．
（1）求椭圆C的方程；     
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

Answer

（1）由焦点坐标可得c值，由离心率可得a值，据a，b，c关系可求得b；
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及斜率公式可用k，b表示出等式，由此可求得b值，进而可求得直线所过定点；
【解析】
（1）由题意可知：椭圆C的离心率e==，且c=1，
∴b2=1，a2=2，
故椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为 M（x1，y1），N（x2，y2），
由，得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∵k1=，k2=．
∴k1k2=•==，
将韦达定理代入，并整理得=3，即，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）；