Question

在△ABC中，角A、B、c的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB=c．
（I）求证：tanB=3tanA；
（Ⅱ）若，求角A的值．

Answer

（Ⅰ）由正弦定理可求得sinBcosA=3sinAcosB，从而可求得tanB=3tanA；
（Ⅱ）由cosC=可求得tanC=-2，即tan（A+B）=-2，利用两角和的正切结合tanB=3tanA即可求得tanA，从而可求得A．
【解析】
（Ⅰ）∵bcosA-acosB=c，
∴由正弦定理得：sinBcosA-sinAcosB=sinC，…1
∴sinBcosA-sinAcosB=sin（A+B）…3
∴2sinBcosA-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，…4
∴sinBcosA=3sinAcosB，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴cosA＞0，cosB＞0，…5
∴tanB=3tanA；…6
（Ⅱ）∵cosC=，
∴0＜C＜，sinC=，tanC=2，…7
∴tanC=tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，…8
∴=-2，…9
∵tanB=3tanA，
∴=-2，…10
∴tanA=1或tanA=-，…11
∵cosA＞0，
∴tanA=1，A=．