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已知函数f(x)=x3+mx,g(x)=nx2+n2,F(x)=f(x)+g(x...

已知函数f(x)=x3+mx,g(x)=nx2+n2,F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数F(x)在x=l处有极值为10,求曲线F(x)在(0,F(0))处的切线方程;
(Ⅲ)若n2<3m,不等式manfen5.com 满分网对∀x∈(1,+∞)恒成立,求整数k的最大值.
(Ⅰ)求f′(x),解含参数m的不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可; (Ⅱ)由函数F(x)在x=l处有极值为10,可得F′(1)=0,F(1)=10,由此可求出F(x),由导数的几何意义及直线点斜式方程可求切线方程; (Ⅲ)由n2<3m,可得F(x)为增函数,从而不等式可转化为,分离出参数k,转化为函数最值问题即可解决. 【解析】 (Ⅰ)∵f(x)=x3+mx,∴f′(x)=3x2+m. ①当m≥0时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. ②当m<0时,若f′(x)<0,则.若f′(x)>0,则x<,或x>, 所以f(x)在(-,)上是减函数,在(-∞,-),(,+∞)上是增函数; (Ⅱ)∵F(x)=x3+mx+nx2+n2,在x=1处有极值10, ∴F′(x)=3x2+2nx+m. ∴,∴, ∴m=-11,n=4.或m=3,n=-3. 当m=3,n=-3时,F′(x)=3(x-1)2≥0,函数F(x)在R上是增函数,所以F(x)在x=1处无极值,不合题意. 当m=-11,n=4时,F′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1), 当-<x<1时,F′(x)<0;当x>1时,F′(x)>0. ∴函数F(x)在x=1处取得极小值,符合题意. ∴m=-11,n=4.∴切线方程为11x+y-16=0. (Ⅲ)∵F(x)=x3+mx+nx2+n2, ∴F′(x)=3x2+2nx+m. ∵n2<3m,△=4(n2-3m)<0,∴F′(x)>0, ∴F(x)=x3+mx+nx2+n2在R上是增函数. ∵F()>F()对任意x∈(1,+∞)恒成立,∴对任意x∈(1,+∞)恒成立. 设函数h(x)=,则h′(x)=. 设m(x)=x-lnx-2,则m′(x)=1-. ∵x∈(1,+∞),m′(x)>0,则m(x)=x-lnx-2在(1,+∞)上是增函数, 因为m(1)=-1,m(2)=-ln2,m(3)=1-ln3<0,m(4)=2-ln4>0,所以∃x∈(3,4),使m(x)=x-lnx-2=0 所以x∈(1,x)时,m(x)<0,h′(x)<0,所以h(x)=在(1,+∞)上递减, x∈(x,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0,所以h(x)=在(x,+∞)上递增, 所以h(x)的最小值为h(x)=, 又因为m(x)=x-lnx-2=0,所以h(x)=x, 因为x∈(3,4),且k<h(x)对任意x∈(1,+∞)恒成立,所以k<h(x)min, 所以k≤3,整数k的最大值为3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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