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定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(x)且x∈[0,l]时,f(x)...

定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(x)且x∈[0,l]时,f(x)=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求函数f(x)在[-l,l]上的解析式;
(II)当λ为何值时,关于x的方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解?
(1)当-1<x<0时,0<-x<1,给出f(-x)的解析式后,根据奇函数的性质,可得函数f(x)在(-1,0)上的解析式,结合奇函数性质及f(1-x)=f(x),进而得到函数f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)根据条件把问题转化为求函数f(x)在[-2,2]上的值域问题即可. 【解析】 (1)当-1<x<0时,0<-x<1, ∵x∈(0,1)时,f(x)=. ∴f(-x)== 又f(x)为奇函数, ∴当-1<x<0时,f(x)=-f(-x)=- 当x=0时,由f(-0)=-f(0)可得f(0)=0 又∵f(1-x)=f(x), 故f(1)=f(0)=0 f(-1)=-f(1)=0 综上,f(x)= (2)∵f(1-x)=f(x),f(-x)=-f(x), ∴f(1+x)=f(-x)=-f(x) ∴f(2+x)=f[1+(1+x)]=-f(1+x)=f(x), ∴f(x)周期为2的周期函数, ∵方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解的λ的范围 即为求函数f(x)在[-2,2]上的值域  即为求函数f(x)在[-1,1]上的值域 当x∈(0,1)时f(x)=, 故f′(x)=<0 即f(x)在(0,1)上为减函数, ∴x∈(0,1)时,=f(2)<f(x)<f(0)<, ∴当x∈(0,1)时,f(x)∈(,) 当x∈(-1,0)时,f(x)∈(-,-)   当x∈{-1,0,1}时,f(x)=0                ∴f(x)的值域为(-,-)∪{0}∪(,)    ∴λ(-,-)∪{0}∪(,)时方程方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解
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考点分析:
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给出如下命题:
①若 S={x|x2<2},则 supS=-manfen5.com 满分网
②若S={x|x=n|,x∈N},则infS=l;
③若A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B},则sup(A+B)=supA+supB.
其中正确的命题的序号为    (填上所有正确命题的序号). 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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