Question

已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A₁C₁上的中点．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求证：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer

（Ⅰ）由三视图直接求出底面面积和高，然后求出该几何体的体积；
（Ⅱ）连接A1B，且A1B∩AB1=O，要证直线BC1∥平面AB1D，只需证明直线BC1平行平面AB1D内的直线DO即可；
（Ⅲ）要证平面AB1D⊥平面AA1D，只需证明平面AB1D内的直线B1D垂直平面AA1D即可．
【解析】
由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高h=3，
（Ⅰ）底面是高为的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积，
所求体积．
（Ⅱ）连接A1B，且A1B∩AB1=O，∵正三棱柱侧面是矩形，
∴点O是棱A1B的中点（6分）
因为D为棱A1C1的中点．连接DO，∴DO是△A1BC1的中位线，∴BC1∥DO，又DO⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（9分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，三角形A1B1C1为正三角形，∴B1D⊥A1C1．，
又由正三棱柱性质知平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，且平面A1B1C1∩平面ACC1A1=A1C1，
B1D⊂平面A1B1C1，∴B1D⊥平面AA1D，（12分）又B1D⊂平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面AA1D．（14分）