Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n且-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂
（2）求S_n与S_n-1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列．
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

Answer

（1）对已知等式分别取n=1、n=2，解关于a1、a2的方程，即可得到a1，a2的值．
（2）将an=Sn-Sn-1代入已知等式，化简整理得到Sn=，代入并整理得到=-1+，由此即可得到数列{}是以-2为首项，公差等于-1的等差数列．
（3）由（2）结合等差数列的通项公式，可得Sn=，再分别取n=1、2、3、…、2011代入题中的式子，化简即可得到S1•S2•S3•…•S2010•S2011的值
【解析】
（1）∵Sn2-2Sn-anSn+1=0，
∴取n=1，得S12-2S1-a1S1+1=0，即a12-2a1-a12+1=0，解之得a1=，
取n=2，得S22-2S2-a2S2+1=0，即（+a2）2-2（+a2）-a2（+a2）+1=0，解之得a2=
（2）由题设Sn2-2Sn-anSn+1=0，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，代入上式，化简得SnSn-1-2Sn+1=0
∴Sn=，可得Sn-1-1=-1=
∴==-1+
∴数列{}是以=-2为首项，公差d=-1的等差数列．
（3）由（2）得=-2+（n-1）×（-1）=-n-1，
可得Sn=1-=
∴S1•S2•S3•…•S2010•S2011=×××…××=
即S1•S2•S3•…•S2010•S2011的值为．