Question

定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2012时，有（ ）
A．d₁=2，d₂=0，d₃=2010
B．d₁=1，d₂=1，d₃=2010
C．d₁=2，d₂=1，d₃=2009
D．d₁=2，d₂=2，d₃=2008

Answer

先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]2，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2011]时，从而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2011时的解集的长度；对于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．
【解析】
f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]2，g（x）=x-1，
f（x）＞g（x）⇒[x]x-[x]2＞x-1，即（[x]-1）x＞[x]2-1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，∴x∈∅；
当x∈[2，2012]时，[x]-1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2012时的解集为[0，1），故d1=1，
f（x）=g（x）⇒[x]x-[x]2=x-1，即（[x]-1）x=[x]2-1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0=0，∴x∈[1，2）；
当x∈[2，2012]时，[x]-1＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2012时的解集为[1，2），故d2=1，
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]2＜x-1即（[x]-1）x＜[x]2-1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；
当x∈[2，2012]时，[x]-1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，2012]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2012时的解集为[2，2012]，故d3=2010．
故选B．