Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0、2．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）若c=2时，相邻两项和不为零的数列{a_n}满足（S_n是数列{a_n}的前n项和），求证：．

Answer

（1）利用f（x）的不动点的定义，结合函数有且仅有两个不动点0，2，可得0，2是方程（1-b）x2+cx+a=0的两个根，利用韦达定理，可求b，c满足的关系式；
（2）确定an=-n，于是要证的不等式即为从而我们可以考虑证明不等式：（x＞0）．
（1）【解析】
设=x，可得（1-b）x2+cx+a=0，（b≠1）．
由于函数有且仅有两个不动点0，2，故0，2是方程（1-b）x2+cx+a=0的两个根，
∴
解得a=0，b=1+；
（2）证明：c=2时，b=1+=2，∴
∴可得2Sn=an-，
当n≥2时，2Sn-1=an-1-．
两式相减得（an+an-1）（an-an-1+1）=0，所以an=-an-1或an-an-1=-1．
当n=1时，2a1=a1-，∴a1=-1，
若an=-an-1，则a2=1与an≠1矛盾，所以an-an-1=-1，从而an=-n，
于是要证的不等式即为
从而我们可以考虑证明不等式：（x＞0）
令1+=t，x＞0，则t＞1，x=．
再令g（t）=t-1-lnt，g′（t）=1-，由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0，
所以当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，于是t-1＞lnt，即＞ln，x＞0…①．
令h（t）=lnt-1+，h′（t）=-=，当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增，所以h（t）＞h（1）=0，
于是lnt＞1-，即ln＞，x＞0…②．
由①②可知（x＞0）
∴