Question

若函数f（x）对于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）-f（a）-（x-a）|≤T（T为常数）成立，则称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”．下列函数中：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=x²；
③f（x）=；
④f（x）=x³．
则在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据称函数f（x）在[a，b]上具有“T级线性逼近”的定义，判断各个选项中的函数在区间[1，2]上是否满足“级线性逼近”的定义，从而得出结论．
【解析】
f（x）=2x+1在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|0|≤，故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=x2 在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|（x-1）（x-2）|=-（x-1）（x-2）≤，
故f（x）=x2在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|+-|=-（+）≤-2=-≤，
故f（x）=2x+1在区间[1，2]上具有“级线性逼近”，故满足条件．
f（x）=x3在区间[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|x3-7x+6|=|（x-1）（x-3）（x+2）|=-（x-1）（x-3）（x+2），
由于-（x3-7x+6）的导数为-3x2+7，令-3x2+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x2-7＜0，-（x-1）（x-3）（x+2）为增函数，
同理可得在[，2]上，-（x-1）（x-3）（x+2）为减函数，故-（x-1）（x-3）（x+2）的最大值为 （-1）（3-）（+2）＞，
故不满足“级线性逼近”，故不满足条件．
故选C．