Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间[-2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．

Answer

（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（-1）=-1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间[-2，2]上单调递减，可得区间[-2，2]在对称轴的右侧，进而得到实数k的取值范围
【解析】
（I）∵二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，
故函数f（x）的图象关于y轴对称
即x=-=0，即b=0
又∵f（-1）=a+1=-1，即a=-2．
故f（x）=-2x2+1
（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2-k）x=-2x2+（2-k）x+1
故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线
故函数g（x）在[，+∞）上单调递减，
又∵函数g（x）在区间[-2，2]上单调递减，
∴≤-2
解得k≥10
故实数k的取值范围为[10，+∞）