Question

设f（x）=，方程f （x）=x有唯一解，数列{x_n}满足f （x₁）=1，x_n+1=f （x_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=（2+a_n）²-（n∈N^*），求证：对一切n≥2的正整数都满足++…+＜2．

Answer

（1）由f（x）=x有唯一解可知对应的方程有唯一的解可求a，进而可求xn+1与xn的递推关系，构造等差数列可求
（2）由a1=，an+1=（2+an）2•=整理可得，把已知代入即可得，然后利用裂项即可求和，进而可证
【解析】
（1）由f（x）=x得ax2+（2a-1）x=0（a≠0）
∴当且仅当a=时，f（x）=x有唯一解x=0，
∴
当f（x1）==1得x1=2，由xn+1=f （xn）=可得
∴数列{}是首项为=，公差为的等差数列
∴
∴
（2）∵a1=，an+1=（2+an）2•= 又
∴= 且an＞0，
∴
即
当n≥2时，=

=）
==2-＜2
∴对一切n≥2的正整数都满足++…+＜2．