Question

是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

Answer

先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用数学归纳法证明对一切n∈N*，a、b、c所确定的等式都成立即可．
【解析】
分别用n=1，2，3代入解方程组
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，由上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，
则当n=k+1时，左边=1•[（k+1）2-12]+2[（k+1）2-22]+…+k[（k+1）2-k2]+（k+1）[（k+1）2-（k+1）2]
=1•（k2-12）+2（k2-22）++k（k2-k2）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=k4+（-）k2+（2k+1）+2（2k+1）++k（2k+1）
=（k+1）4-（k+1）2．
∴当n=k+1时，等式成立．
由（1）（2）得等式对一切的n∈N*均成立．