Question

f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（-1，3），g（x）=f（x-1），则f（2012）+f（2013）=    ．

Answer

先利用函数的奇偶性推出f（x）的周期，利用周期化简f（2012），f（2013），根据条件得f（-1）=g（0）=0，f（0）=g（1）及g（-1）=3即可求得答案．
【解析】
由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，
得f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），且g（0）=0，
由g（x）=f（x-1），得f（x）=g（x+1）=-g（-x-1）=-f（-x-2）=-f（x+2），即f（x）=-f（x+2），
所以f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
故f（x）是周期为4的周期函数，
所以f（2012）=f（4×503）=f（0）=g（1）=-g（-1）=-3，
f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（-1）=g（0）=0，
所以f（2012）+f（2013）=-3，
故答案为：-3．