Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=-n+p，数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-5．设c_n=，若在数列{c_n}中，c₈＞c_n（n∈N^*，n≠8），则实数p的取值范围是    ．

Answer

由cn表达式知cn是an，bn中的较小者，易判断{an}是递减数列，{bn}是递增数列，由c8＞cn（n≠8）知c8是cn的最大者，从而可知n=1，2，3，…7，8时，cn递增，n=8，9，10，…时，cn递减，进而可知an与bn的大小关系，且c8=a8或c8=b8，分两种情况讨论，当c8=a8时，a8＞b7，当c8=b8时，b8＞a9，分别解出p的范围，再取并集即可；
【解析】
当an≤bn时，cn=an，当an＞bn时，cn=bn，∴cn是an，bn中的较小者，
因为an=-n+p，所以{an}是递减数列；因为bn=2n-5，所以{bn}是递增数列，
因为c8＞cn（n≠8），所以c8是cn的最大者，
则n=1，2，3，…7，8时，cn递增，n=8，9，10，…时，cn递减，
因此，n=1，2，3，…7时，2n-5＜-n+p总成立，
当n=7时，27-5＜-7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…时，2n-5＞-n+p总成立，
当n=9时，29-5＞-9+p，成立，∴p＜25，
而c8=a8或c8=b8，
若a8≤b8，即23≥p-8，所以p≤16，
则c8=a8=p-8，
∴p-8＞b7=27-5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
 若a8＞b8，即p-8＞28-5，所以p＞16，
∴c8=b8=23，
那么c8＞c9=a9，即8＞p-9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
综上，12＜p＜17．
故答案为：（12，17）．