Question

将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．记折痕长为lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范围．

Answer

（1）不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．易判断l=4为情形①，设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．利用不等式即可求得S1的最大值；
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32，按三种情形进行讨论：根据S1的面积可把折痕l表示为函数，根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围，综上即可求得l的范围；
【解析】
如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：

情形①情形②情形③
①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；
②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；
③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．
（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．
设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．
因为x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，
所以，当且仅当x=y=2时取等号，即S1的最大值为4．
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，
因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32．
当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则，即y=，
由，解得，
所以l==，，
 设f（x）=，x＞0，则=，x＞0，
故当x∈（）时f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（4，8）时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（）=64，f（8）=80，
所以f（x）的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4]．
当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，则，即y=，
由，解得0，
所以l==，0，
所以l的范围为[6，]；
当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，则，即y=4-x，
由，得0≤x≤4，所以l==，0≤x≤4，
所以l的取值范围为[8，4]，
综上，l的取值范围为[6，4]．