Question

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）若a₁=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有+=2成立，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=（a＞0），求证：≤．

Answer

（1）数列{an}为等差数列，等价于an+1-an=d（d为常数）；
（2）已知数列前n项和公式求通项公式，需用公式，整理化简即可得到数列{an}的通项公式；
（3）与不等式有关的数列证明题通常用放缩法来解决．
【解析】
设等差数列{an}的公差为d，（1）由于，从而，
所以当n≥2时，=，
即数列{}是等差数列．
（2）∵对任意正整数n，k（n＞k），都有+=2成立，
∴，即数列{}是等差数列，设其公差为t，
则，所以，
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=[1+（n-1）t]2-[1+（n-2）t]2=2t2n-3t2+2t，
又由等差数列{an}中，a2-a1=a3-a2，即（4t2-3t2+2t）-1=（6t2-3t2+2t）-（4t2-3t2+2t）
所以t=1，即an=2n-1．
（3）由于an=a1+（n-1）d，，则，
即数列{bn}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q（q＞0）．
以下证明：b1+bn≥bp+bk，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．
∵（b1+bn）-（bp+bk）==，
当q＞1时，因为y=qx为增函数，p-1≥0，k-1≥0，
∴qp-1-1≥0，qk-1-1≥0，∴b1+bn≥bp+bk；
当q=1时，b1+bn=bp+bk；
当q=1时，因为y=qx为减函数，p-1≥0，k-1≥0，
∴qp-1-1≤0，qk-1-1≤0，∴b1+bn≥bp+bk，
综上：b1+bn≥bp+bk，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．
∴n（b1+bn）=（b1+bn）+（b1+bn）+…（b1+bn）≥（b1+bn）+（b2+bn-1）+…（bn+b1）
=（b1+b2+…+bn）+（bn+bn-1+…+b1），
即．