Question

在等差数列是{a_n}中，已知a₄与a₂与a₈的等比中项，a₃+2是a₂与a₆的等差中项，S_n是前n项和，则满足的所有n值的和为    ．

Answer

由a4是a2与a8的等比中项，a3+2是a2与a6的等差中项，可求得公差、首项，进而得到通项an，从而求得Sn及，于是可求出，解不等式，由n的范围可确定n值，其和易求．
【解析】
设等差数列是{an}的公差为d，由a4是a2与a8的等比中项，得=（a1+d）（a1+7d），化简得①，
由a3+2是a2与a6的等差中项，得2（a1+2d+2）=（a1+d）+（a1+5d），解得d=2，代入①得a1=d=2．
所以an=a1+（n-1）•d=2n，
则=n（n+1），
所以==，
则=1-+++…+=1-，
由已知得＜1-＜，解得＜n＜，
又n∈Z，所以n=5，6，7，8，9，且5+6+7+8+9=35，
故答案为：35．