Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足
（Ⅰ）证明：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer

（Ⅰ）通过代入化简整理，利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，通过作商即可比较出最大值．
（Ⅰ）证明：∵（an+1-an）g（an）+f（an）=0，f（an）=，g（an）=10（an-1）．
∴（an+1-an）×10（an-1）+，化为（an-1）（10an+1-9an-1）=0．
又a1=2，可知：对任意的n∈N*，an-1≠0．
∴10an+1-9an-1=0，化为10（an+1-1）=9（an-1）．
∴，
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知：，
∴=．
∴==．
当n=7时，，即b8=b7；
当n＜7时，，bn+1＞bn；
当n＞7时，，bn+1＜bn．
∴当n=7或8时，b8=b7=取得最大值．