Question

已知直角坐标平面内的动点M满足：|MA|²-|MB|²=4（|MB|-1），其中A（0，-1），B（0，1）．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过N（-2，1）作两条直线交（Ⅰ）中轨迹C于P，Q，并且都与“以A为圆心，r为半径的动圆”相切，求证：直线PQ经过定点．

Answer

（1）设M（x，y），由|MA|2-|MB|2=4（|MB|-1）可得方程，化简即可；
（2）设NQ、NP直线斜率分别为k1，k2，利用点斜式可写出直线NQ、NP的方程，根据NQ、NP与动圆A相切可得k1k2=1，分别联立直线与曲线方程可得Q、P坐标，由点斜式可写出直线PQ的方程，据方程形式即可求得所过定点．
【解析】
（1）设M（x，y），由|MA|2-|MB|2=4（|MB|-1），
得x2+（y+1）2-[x2+（y-1）2]=4（），
化简得：x2=4y．
（2）设NQ、NP直线斜率分别为k1，k2，则直线NQ：y-1=k1（x+2），即：k1x-y+2k1+1=0，
NP：y-1=k2（x+2），即：k2x-y+2k2+1=0，
由NQ、NP与动圆A相切得：=，
化简得：（k1-k2）（k1k2-1）=0，
∵k1≠k2，∴k1k2=1，
联立，解得Q（4k1+2，），
同理：P（4k2+2，），
∴kPQ==k1+k2+1，
∴PQ：y-=（k1+k2+1）[x-（4k2+2）]，
化简得：y=（k1+k2+1）（x-2）-3，
所以直线PQ恒过定点（2，-3）．