Question

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．0或 2

Answer

由题意可得，当x＞0时，利用导数的知识可得xf（x）在（0，+∞）上是递增函数，xf（x）＞0，可得g（x）在（0，+∞）上恒正，g（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得g（x）在（-∞，0）上也无零点，从而得出结论．
【解析】
∵当x≠0时，＞0 ①，
由题意可得，当x＞0时，由①可得 xf′（x）+f（x）=[xf（x）]′＞0，故xf（x）在（0，+∞）上是递增函数．
而关于x的函数 =，
故g（x）在（0，+∞）上是递增函数，故xf（x）＞0×f（0）=0，故g（x）在（0，+∞）上恒正，
故g（x）在（0，+∞）上无零点．
当x＜0时，由①可得 xf′（x）+f（x）=[xf（x）]′＜0，故xf（x）在（-∞，0）上是递减函数．
再由xf（x）在（-∞，0）上是递减函数，故xf（x）＞0×f（0）=0，故g（x）在（-∞，0）上恒正，
故g（x）在（-∞，0）上无零点．
综上可得，函在R上的零点个数为0，
故选C．