Question

已知{a_n}为等差数列，且a₂=-1，a₅=8．
（I）求数列{|a_n|}的前n项和；
（II）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和．

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d，由a2=-1，a5=8，利用等差数列的通项公式能求出an，由此能求出数列{|an|}的前n项和；（II）记数列{2nan}的前n项和为Tn．则，由错位相减法可求和．
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d，
因为a2=-1，a5=8，所以
解得a1=-4，d=3，…（2分）
所以an=-4+3（n-1）=3n-7，…（3分）
因此…（4分）
记数列{|an|}的前n项和为Sn，
当n=1时，S1=|a1|=4，
当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5，
当n≥3时，Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=，
又当n=2时满足此式，
综上，…（8分）
（II）记数列{2nan}的前n项和为Tn，由（I）可知，a1=-4，d=3，an=3n-7，
则，①
，②
①-②可得
=-8+3×-2n+1（3n-7）
=-8+3（2n+1-4）-2n+1（3n-7）
=-20-（3n-10）2n+1，
故Tn=20+（3n-10）2n+1…（13分）