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已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,左焦点为F,直线AF与圆M:x2+...

已知椭圆C:manfen5.com 满分网+y2=1(a>1)的上顶点为A,左焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2+6x-2y+7=0相切.过点(0,-manfen5.com 满分网)的直线与椭圆C交于P,Q两点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)当△APQ的面积达到最大时,求直线的方程.
(I)写出直线AF的方程,由直线AF与圆M相切得关于c的方程,解出c再由a2=c2+b2即可求得a值; (II)易判断直线PQ的斜率存在,设出其点斜式方程,根据弦长公式表示出PQ,根据点到直线的距离公式表示出点A(0,1)到直线PQ的距离,由三角形面积公式可表示出△APQ的面积,根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k的值; 【解析】 (I)将圆M的一般方程x2+y2+6x-2y+7=0化为标准方程(x+3)2+(y-1)2=3,则圆M的圆心M(-3,1),半径. 由得直线AF的方程为x-cy+c=0. 由直线AF与圆M相切,得, 解得或(舍去). 当时,a2=c2+1=3, 故椭圆C的方程为. (II)由题意可知,直线PQ的斜率存在,设直线的斜率为k,则直线PQ的方程为. 因为点在椭圆内,所以对任意k∈R,直线都与椭圆C交于不同的两点. 由得. 设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则, 所以==. 又因为点A(0,1)到直线的距离, 所以△APQ的面积为. 设,则0<t≤1且,. 因为0<t≤1,所以当t=1时,△APQ的面积S达到最大, 此时,即k=0. 故当△APQ的面积达到最大时,直线的方程为.
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考点分析:
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其中的真命题是    (写出所有真命题的编号). 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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