Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n，S_n）在函数y=2^x-1-2的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+1+b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N^*不等式b_n＜λb_n+1恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（I）由题意可知，分当n=1，和n≥2两种情况，可得数列{an}的通项公式；
（II）可得，分n为奇数和n为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；
（III）由（II）可知，分当n为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得的最大值是1，进而可得结论．
【解析】
（I）由题意可知，．
当n≥2时，，
当n=1时，也满足上式，
所以．…（3分）
（II）由（I）可知，即．
当k=1时，，…①
当k=2时，，所以，…②
当k=3时，，…③
当k=4时，，所以，…④
…
…
当k=n-1时（n为偶数），，所以…n-1
以上n-1个式子相加，得
===，又b1=0，
所以，当n为偶数时，．
同理，当n为奇数时，
=，
所以，当n为奇数时，．…（6分）
因此，当n为偶数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn
=
==；
当n为奇数时，数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=
==．
故数列{bn}的前n项和．…（8分）
（III）由（II）可知，
①当n为偶数时，，
所以随n的增大而减小，
从而，当n为偶数时，的最大值是．
②当n为奇数时，，
所以随n的增大而增大，且．
综上，的最大值是1．
因此，若对于任意的n∈N*，不等式bn＜λbn+1恒成立，只需λ＞1，
故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…（13分）