Question

已知：向量，，曲线上一点P到点F（3，0）的距离为6，M为PF的中点，O为坐标原点，则|OM|=（ ）
A．1
B．2
C．5
D．1或5

Answer

由数量积的运算易得方程为双曲线，由双曲线的定义结合三角形的中位线的性质，易得答案．
【解析】
∵向量，，
∴===1，
对应的图形是双曲线，其中a2=4，b2=5，故a=2，b=，c==3，
可得点F（3，0）恰好是双曲线的右焦点，
设双曲线的左焦点为F'（-3，0），连接PF'、OM
由双曲线的定义可得|PF-PF'|=|6-PF'|=2a=4，
解得PF'=2或10，
∵OM是△PFF'的中位线，∴|OM|=PF'=1或5，
故选D