Question

已知：y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x+1）图象关于点（-1，0）对称，则当x＞3且f（x²-6x+16）+f（y²-8y）＜0时，的取值范围为：    ．

Answer

由已知中函数的单调性及对称性，可将不等式x＞3且f（x2-6x+16）+f（y2-8y）＜0化为（x-3）2+（y-4）2-9＜0，x＞3，画出满足条件的可行域，结合的几何意义，可分析出的取值范围．
【解析】
∵y=f（x）是定义在R上的增函数，
且函数y=f（x+1）图象关于点（-1，0）对称，
故函数y=f（x）图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数
故f（x2-6x+16）+f（y2-8y）＜0可化为
f（x2-6x+16）＜-f（y2-8y）=f（-y2+8y）
即x2-6x+16＜-y2+8y
即x2-6x+16+y2-8y=（x-3）2+（y-4）2-9＜0
即（x-3）2+（y-4）2-9＜0，x＞3
其表示的平面区域如下图所示：
当直线与半圆相切时，将y=kx代入（x-3）2+（y-4）2-9=0，x＞3得
（x-3）2+（kx-4）2-9=0只有一解
解得k=，即的最小值为
当x=3，y=7时，的最大值为
故的取值范围是
故答案为：