Question

已知：函数（a＞1）
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）在x=2取极值，求函数y=f（x）在区间[e^-2，e²]上的最大值．

Answer

（1）利用f′（x）＞0即可求出其单调递增区间；
（2）利用函数取得极值点的条件先求出a的值，再利用导数得出其单调区间、极值，进而即可求出其最值．
【解析】
（1）函数f（x）定义域为x＞0，
=．
由f'（x）＞0且x＞0
得即
（i）当a-1=1即a=2时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（ii）当a＞2时，x＞a-1或0＜x＜1，∴f（x）在（a-1，+∞），（0，1）上为增函数；
（iii）当1＜a＜2时，0＜x＜a-1或x＞1，∴f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上为增函数．
综上可知：f（x）的单调区间为：当a=2时，（0，+∞）
当a＞2时，（a-1，+∞），（0，1）
当1＜a＜2时，（0，a-1），（1，+∞）．
（2）x=2是f（x）极值点，∴f'（2）=0，即，解得a=3．
∴（x＞0），．
∵，且当2＜x＜e2时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间及（2，e2]上单调递增，在区间（1，2）上单调递减．
∴f（x）在最大值应在x=1和x=e2处取得
又，，
∴．